Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f x = x + 1 2 x - 3 ; 0 ,   1

Passo 1

Vamos seguir um passo a passo tranquilo pra resolver esses problemas, da mesma forma que o livro faz nos exemplos 3 e 4 desta seção.

  1. Determinar a derivada da função.
  2. Fazer f ' x = 0 e depois encontrar os valores de x para os quais f ' x   não existe.
  3. Achar os valores de x que satisfazem as proposições acima e estão dentro do intervalo especificado.
  4. Dos valores encontrados, o menor vai ser o mínimo absoluto e o maior será o máximo absoluto do intervalo.
  5. Esboçar o gráfico utilizando os valores de máximo e mínimo que temos.

Vamo devagarinho que dá bom!

Passo 2

Vamos começar achando a derivada desse quociente de polinômios do 1º grau:

d f d x = d d x x + 1 2 x - 3

Pela regra do quociente:

d f d x = 2 x - 3 - 2 x + 1 2 x - 3 2

d f d x = - 5 2 x - 3 2

Vamos analisar a derivada que encontramos para conseguir mais informação sobre a nossa função. Como o termo de x está ao quadrado, ele sempre será positivo, mas temos um sinal negativo do lado de fora, ou seja, a derivada é sempre negativa! Isso quer dizer que a função é sempre decrescente. Além disso, a derivada nunca se iguala a 0 ! Então não podemos definir os extremos a partir daquele teorema.

Passo 3

Isso não irá nos impedir de encontrar o máximo e o mínimo absoluto dessa função no intervalo dado! Pensa comigo: temos uma função que está sempre diminuindo, como se fosse uma exponencial decrescente, se escolhemos um intervalo fechado a ,   b dessa função, onde estarão os máximos e os mínimos absolutos? Nos extremos! Pois como a função só faz diminuir, podemos concluir que o máximo absoluto está em a ,   f a e o mínimo absoluto está em b ,   f b !.

Então nosso máximo absoluto será em 0 ,   f 0 e o mínimo absoluto será em 1 ,   f 1 !

Passo 4

Calculando o valor da função nesses dois pontos:

f 0 = 0 + 1 0 - 3 = - 1 3

E

f 1 = 1 + 1 2 - 3 = - 2

Passo 5

Da equação que temos, podemos ver que a função tende a em x = 3 2 . Então vamos ter um gráfico que vai de - 1 3 até - 2 cada vez mais íngreme (já que a derivada é inversamente proporcional a x 2 ). O nosso gráfico vai ficar:

Resposta

Mín. absoluto: 1 ,   - 2

Máx. absoluto: 0 ,   - 1 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

15-18. Verdadeiro/Falso. Suponha que f seja contínua em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.18. Se p ( x ) for um polinômio tal que p ' x tem uma rai
7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.11. f x = x 2 - 25 3
15-18. Verdadeiro/Falso. Suponha que f seja contínua em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.16. Se f tiver um máximo relativo em x = 1 , então x = 1
7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.13. f x = s e nx
7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.14. f x = s e n x