Enunciado

Ache o domínio da função e diga se é contínua nos intervalos:

f x = x

Intervalos: - 1 2 , 1 2 ; 1 4 , 1 2 ; 1,2 ; 1,2 ; ( 1,2 ]

Passo 1

Antes de determinarmos o domínio dessa função, vamos lembrar o que significa a notação x

Essa notação representa a função ‘piso’, que retorna o maior inteiro que é menor ou igual a x.

Assim, para valores de x positivos, equivale a pegar apenas a parte inteira do número, como por exemplo 1,5 = 1   ;   2 = 2

Para valores negativos, se for fracionário, pega-se a parte inteira e subtrai 1, se for inteiro é o próprio número, como por exemplo - 2,5 = - 3 ;   - 3 = - 3 .

Assim, como podemos calcular a parte inteira de qualquer número, não temos restrições e nosso domínio é D = R (todos os reais)

Passo 2

Para determinar a continuidade em cada intervalo, sabemos que não temos restrições mas sim saltos, pois essa função é a famosa ‘função escada’, como nesse exemplo:

Repare que qualquer intervalo que esteja contido entre dois inteiros sucessivos é contínuo, pois possuem a mesma parte inteira, como por exemplo ( 0.33,0.98 ) , onde todos possuem a mesma parte inteira 0.

Assim, o possível problema para a continuidade vai estar exatamente nos intervalos que contém números inteiros, que podem ou não ser contínuos.

Pensa na escada: dentro dos degrais, temos uma reta constante (contínuo), mas no pulo de um degrau para o outro, temos descontinuidades!

Assim, vamos analisar os intervalos da seguinte forma: se todos tiverem entre dois inteiros sucessivos, então é contínuo. Se houver inteiros dentro do intervalo, então é descontínuo. Se os extremos forem inteiros, analisaremos cada caso.

Passo 3

Intervalo - 1 2 , 1 2 : como o inteiro 0 está dentro dele, é descontínuo.

Intervalo 1 4 , 1 2 : como não há inteiros dentro dele, é contínuo.

Intervalo 1,2 : como os inteiros não estão inclusos, é contínuo.

Intervalo 1,2 : a parte inteira de 1 é 1 e dos demais valores 1,... também é 1, então é contínua

Intervalo ( 1,2 ] : a parte inteira de valores 1,... é 1, mas ao saltar para o 2, a parte inteira é 2, então há um salto (como pode ver no gráfico), então é descontínua.

Resposta

D = R

É contínua nos intervalos: 1 4 , 1 2 ; 1,2 ; 1,2

Não é contínua nos intervalos: : - 1 2 , 1 2 ;   ( 1,2 ]

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