Enunciado

Ache uma equação da reta normal à curva y = x 16 + x 2 na origem.

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a equação da reta normal à curva y = f ( x ) na origem, isto é, no ponto x 0 = 0 e y 0 = f x 0 = f 0 = 0 . A equação de uma reta é

y - y 0 = m   x - x 0 ,

onde m é o coeficiente linear da reta. Como queremos a reta normal à curva, devemos ter que essa reta seja perpendicular à reta tangente, de modo que

m ⋅ f ' x 0 = - 1

Passo 2

Vamos calcular f ' ( x ) :

f ' x = x ' 16 + x 2 + x   16 + x 2 '

Assim,

f ' x = 1 ⋅ 16 + x 2 + x ⋅ 1 2 16 + x 2 ⋅ 16 + x 2 '

Portanto,

f ' x = 16 + x 2 + x 2 16 + x 2

Desta forma,

f ' x 0 = f ' 0 = 16 + 0 + 0 = 4

Logo, como as retas são perpendiculares

m ⋅ 4 = - 1 ⇒ m = - 1 4

Passo 3

Assim, a equação da reta será

y - 0 = - 1 4   ( x - 0 )

Portanto,

y = - x 4

Resposta

y = - x 4

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