Enunciado

5.(a)Encontre a inclinação da reta tangente à parábola y = x 2 + 2 x

Usando a Definição 1

Usando a Equação 2

(b) Encontra a equação da reta tangente da parte (a)

(c) Faças os gráficos da parábola e da reta tangente. Como verificação dê um zoom em direção ao ponto ( - 3,3 ) até que parábola e a reta tangente fiquem não distinguíveis.

Passo 1

Opa, bora lá! Nesse passo, vou mostrar a definição 1 e a equação 2 :

Definição 1 :

m = lim x → a ⁡ f ( x ) - f ( a ) x - a

Em que m , é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( a , f ( a ) )

Equação 2 :

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Em que m , é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( a , f ( a ) ) e h = x - a .

A equação da reta tangente será:

y - y o = m ( x - x o )

Em que   ( x o ,   y o ) é o ponto de tangência.

Passo 2

Sem mais enrolação, vamos começar com os cálculos até porque a matéria é Cálculo 1 né!

O ponto de tangência é o ponto ( - 3,3 ) , então:

A questão já nos dá o f ( - 3 ) = 3

Pela definição 1:

m = lim x → - 3 ⁡ f ( x ) - f ( - 3 ) x - ( - 3 )

m = lim x → - 3 ⁡ x 2 + 2 x - 3 x + 3

Fatorando o x 2 + 2 x - 3 , pois se substituirmos o valor de x = - 3 na expressão acima, teremos uma indeterminação do tipo 0 0 .

x 2 + 2 x - 3 = ( x - 1 ) ( x + 3 )

m = lim x → - 3 ⁡ ( x - 1 ) ( x + 3 ) x + 3

“Cortando” o ( x + 3 ) no denominador (parte de cima) e ( x + 3 ) no numerador (parte de cima), temos:

m = lim x → - 3 ⁡ ( x - 1 ) = - 4

Pela definição 1, o coeficiente angular da reta é - 4 , faremos agora pela equação 2 e tem que dar o mesmo resultado hein! Serve até como prova real.

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

a = - 3

m = lim h → 0 ⁡ f ( - 3 + h ) - f ( - 3 ) h

Anotando algumas coisas para não nos enrolarmos:

f ( - 3 + h ) = ( - 3 + h ) 2 + 2 ( - 3 + h ) = 9 - 6 h + h 2 - 6 + 2 h = h 2 - 4 h + 3

f ( - 3 ) = 3 isso foi dado no problema hein, não esquece:

Substituindo tudo no cálculo do limite temos:

m = lim h → 0 ⁡ h 2 - 4 h + 3 - 3 h

m = lim h → 0 ⁡ h 2 - 4 h h

Botando o h em evidência, temos:

m = lim h → 0 ⁡ h ( h - 4 ) h

Cortando o h de cima e de baixo, temos:

m = lim h → 0 ⁡ ( h - 4 ) = - 4

Obaaa! Deu igual, estamos no caminho certo!

Passo 3

Para não ficar muito longo o passo 2 , iremos achar a equação da reta tangente e o gráfico da curva com a reta tangente nesse passo.

Lembrando que a equação da reta é da seguinte forma:

y - y o = m ( x - x o )

Em que o ponto   ( x o , y o ) = ( - 3,3 ) e m = - 4

y - 3 = - 4 ( x - ( - 3 ) )

y - 3 = - 4 ( x + 3 )

y - 3 = - 4 x - 12

y = - 4 x - 9

(c) Agora faremos o gráfico da curva e da reta tangente:

Prontinho!

Resposta

( a ) m = - 4

( b )  

y = - 4 x - 9

(c)

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