Enunciado

Se f x = 3 x 2 - x 3   encontre f ' ( 1 ) e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva f x = 3 x 2 - x 3 no ponto ( 1,2 ) .

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função:

f x = 3 x 2 - x 3  

Primeiramente queremos calcular a derivada no ponto x = 1 , ou seja, queremos f ' 1 .

Para isso, sabemos que a derivada num ponto a é dada por:

f ' a =   lim x → a ⁡ f x - f ( a ) x - a

Depois, queremos encontrar a equação da reta tangente à curva f x = 3 x 2 - x 3 no ponto ( 1,2 ) .

Para isso, sabemos que a reta tangente no ponto em que x = a é dada por:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiramente vamos calcular f ' 1 :

f ' 1 =   lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 ∴

Sabendo que f x = 3 x 2 - x 3 e f 1 = 3 1 2 - 1 3 , temos:

f ' 1 =   l i m x → 1 3 x 2 - x 3 - 3 1 2 - 1 3 x - 1 ∴

f ' 1 = l i m x → 1 3 x 2 - x 3 - 2 x - 1

Fatorando o numerador, temos:

f ' 1 = l i m x → 1 - ( x - 1 ) ( x 2 - 2 x - 2 ) x - 1  

Simplificando:

f ' 1 = l i m x → 1 - x 2 - 2 x - 2 ∴

f ' 1 = - 1 2 - 2 1 - 2 ∴

Achamos f ' 1 = 3 , agora vamos para a expressão da reta tangente...

Passo 3

Pra achar a reta tangente no ponto x = 1 , fazemos:

y - f 1 = f ' 1 x - 1 ∴

Sabemos que f ' 1 = 3 e que:

f 1 = 3 1 2 - 1 3 ∴

f 1 = 2

Portanto, substituindo na equação da reta, encontramos a reta tangente:

y - 2 = 3 x - 1 ∴

y = 3 x - 3 + 2 ∴

y = 3 x - 1

Prontinho😊

Resposta

f ' 1 = 3

y = 3 x - 1

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