Enunciado

Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado.

f ( x ) = x 2 - x 4 ,       ( 1,0 )

Passo 1

Falaaa aí! Tudo joinha? O enunciado nos dá:

y = x 2 - x 4

E pede pra a gente encontrar as equações da reta tangente e da reta normal a y no ponto ( 1,0 ) !

Sabemos que f ' ( a ) é a inclinação da reta tangente no ponto a e a forma geral da equação de uma reta é:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Então só precisamos calcular f ' ( 1 )   , substituir nossos dados na fórmula e correr pro abraço!

Para calcular a equação da reta normal também vamos usar f ' ( 1 ) já que a inclinação da reta normal é o inverso e negativo da inclinação da reta tangente. Ou seja:

m N = - 1 f ' 1

Agora vamos colocar a mão na massa:

Passo 2

Temos:

f ( x ) = x 2 - x 4

Para derivar usamos a regra da potência:

f x = x n

f ' x = n x n - 1

Assim:

f ' ( x ) = 2 x - 4 x 3

Calculando f ( 1 ) :

f ' 1 = 2 1 - 4 1 3

f ' 1 = - 2

Esse é o nosso coeficiente angular! Agora vamos pra equação da reta:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

O ponto é ( 1,0 ) então f a = 0 e a = 1 , portanto:

y - 0 = - 2 x - 1

y = - 2 x + 2

Belezinha! Essa é a equação da reta tangente à função no ponto ( 1,0 ) .

Passo 3

Vamos para a reta normal agora! Temos que:

h - f a = - 1 f ' ( a ) ( x - a )

Aqui h vai ser a nossa reta normal e como falamos lá em cima o seu coeficiente angular é o inverso e o negativo da inclinação da reta tangente. Substituindo:

h - 0 = 1 2 ( x - 1 )

h = 1 2 x - 1 2

Prontinho!

Resposta

y =   - 2 x + 2

h = 1 2 x - 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercicicios de 41 a 46, é dada uma equação. Faça o seguinte em cada um destes problemas: (a) Ache duas funções definidas pela equação equação e estabeleça os seus domínios. (b) Faça um esboço do
Nos Exercicicios de 41 a 46, é dada uma equação. Faça o seguinte em cada um destes problemas: (a) Ache duas funções definidas pela equação equação e estabeleça os seus domínios. (b) Faça um esboço do
51. Seja f a função potência definida por f x =x r , onde r é um número racional qualquer. Supondo que f seja derivável, use a derivação implícita para mostrar que f ´ x =r x r - 1 .
50. Prove que a soma dos interceptos xey de qualquer reta tangente à curva x 1 / 2 + y 1 / 2 = k 1 / 2 é constante e igual a k
Nos Exercicicios de 41 a 46, é dada uma equação. Faça o seguinte em cada um destes problemas: (a) Ache duas funções definidas pela equação equação e estabeleça os seus domínios. (b) Faça um esboço do