Enunciado

Ache uma equação da reta tangente à curva y = ( x 2 - 1 ) 2 em cada um dos seguintes pontos - 2 ,   9 , - 1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0   e   ( 2 ,   9 ) . Faça um esboço do gráfico e desenhe segmentos das retas tangentes nos pontos dados.

Passo 1

Bom, o exercício pede para a gente calcular retas tangentes a uma determinada função, então vamos precisar fazer a derivada da função para encontrarmos as inclinações de cada um dos segmentos.

Passo 2

Para fazer a derivada de y, vamos precisar usar a Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função de fora, que no caso é o quadrado de fora:

d d t t 2 = 2 t

Colocamos a função de dentro no lugar de t e depois multiplicamos pela derivada dessa função:

y ' = 2 ( x 2 - 1 ) d d x ( x 2 - 1 )

Resolvendo a última derivada que apareceu e o produto:

y ' = 2 x 2 - 1 . 2 x

y ' = 4 x ( x 2 - 1 )

Passo 3

Agora para cada ponto dado no enunciado, vamos substituir o valor de x para termos o valor da inclinação de cada reta, que chamaremos de T,

Para ( - 2 ,   9 ) :

T 1 = y ' - 2 = 4   .   - 2 - 2 2 - 1 = - 24

Para ( - 1 ,   0 ) :

T 2 = y ' - 1 = 4   .   - 1 - 1 2 - 1 = 0

Para ( 0 ,   1 ) :

T 3 = y ' - 1 = 4   .   0 0 2 - 1 = 0

Para ( 1 ,   0 ) :

T 4 = y ' 1 = 4   .   1 1 2 - 1 = 0

E para ( 2 ,   9 ) :

T 5 = y ' 1 = 4   .   2 2 2 - 1 = 24

Passo 4

Bom, agora que já temos as inclinações, basta substituir elas na equação da reta para cada ponto, onde x p e y p são as coordenadas de cada ponto, que o enunciado já nos deu:

y - y p = T ( x - x p )

Para ( - 2 ,   9 ) :

y - 9 = - 24 ( x + 2 )

Para ( - 1 ,   0 ) :

y = 0

Para ( 0 ,   1 ) :

y = 1

Para ( 1 ,   0 ) :

y = 0

E para ( 2 ,   9 ) :

y - 9 = 24 ( x - 2 )

Passo 5

E os segmentos ficarão da seguinte maneira no gráfico na função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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