Enunciado

Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada:

c < a < b

(Teorema dado no livro).

Passo 1

O teorema citado diz que se temos um intervalo qualquer contendo a , b , e c no qual f ( x ) é integrável, teremos o resultado ∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x , independente da ordem de a , b , e c . Sabemos de outro teorema que o resultado é válido para a < c < b , queremos agora partir desse resultado provar para a ordem c < a < b .

Passo 2

Se b < c < a , podemos afirmar, pela ordem convencional do teorema que:

∫ c b f x d x = ∫ c a f x d x + ∫ a b f x d x

Mas o resultado que queremos é:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Já temos do lado direito da primeira equação a integral ∫ a b f x d x que queremos, então isolamos ela e colocamos na esquerda, ficando com a equação assim:

∫ a b f x d x = ∫ c b f x d x - ∫ c a f x d x

Agora temos ∫ c a f x d x , no lado direito, com os limites de integração trocados pois o que queremos é ∫ a c f x d x . Invertendo os limites de integração e multiplicando a integral por - 1 , chegamos no resultado que queríamos.

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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