Enunciado

O teto de um saguão com 10 m de largura tem a forma de uma semi-elipse com 9 m de altura no centro e 6 m de altura das paredes laterais. Ache a altura do teto a 2 m de cada parede.

Passo 1

Com os dados do enunciado podemos fazer a seguinte representação gráfica

Assim temos que 2 a = 10 e b = 9 - 6 , que assim encontramos os semi-eixos dessa elipse que são a = 5 e b = 3 .

Passo 2

Agora vamos montar a equação da elipse, tomaremos como origem o centro da elipse.

x 2 5 2 + y 2 3 2 = 1

x 2 25 + y 2 9 = 1

Passo 3

Agora vamos achar o valor de x que nos dará o valor desejado. Façamos a seguinte interpretação a distância entre o centro e a parede é de 5m e desejamos achar a altura para o ponto que dista 2m da parede. Logo temos que x = 5 - 2 , assim sendo x = ± 3 .

Passo 4

Vamos aplicar x = 3 na elipse e encontrarmos y , e então somar à altura da parede, que nos dará a altura do teto.

3 2 25 + y 2 9 = 1

9 25 + y 2 9 = 1

Vamos achar o M.M.C. desta divisão

9 ∙ 9 + 25 y 2 25 ∙ 9 = 1

9 ∙ 9 + 25 y 2 = 25 ∙ 9

25 y 2 = 25 ∙ 9 -   9 ∙ 9

Vamos por o 9 em evidência

y 2 = 9 25 - 9 25

y 2 = 9 ∙ 16 25

y = ± 9 ∙ 16 25

y = ± 3 ∙ 4 5

y = ±   2,4

Como estamos trabalhando com distância somente o valor positivo vale

h = 6 + 2,4

h = 8,4 m

Resposta

h = 8,4 m

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