Enunciado

Ache as equações das retas que passam pela origem e são tangentes a circunferência com centro (2,1) e raio 2.

Passo 1

Faaaaaala galerinha !!

Animados?

Queremos obter as equações das retas que cruzam o ponto (0,0) e tangenciam a circunferência de centro (2,1) e raio 2.

Para começar vamos ilustrar a situação descrita pelo problema.

Para obter a equação das retas precisamos de pelo menos um ponto e a sua inclinação. Como já temos o ponto (0,0) precisamos da inclinação, tudo bem?

Passo 2

Boom galera de cowboy, se queremos a equação da reta nós precisamos lembrar como é a sua equação geral, não é?

Então vamos dar uma olhadinha?

y - y 0 = m ( x - x 0 )

E substituindo para o ponto ( 0,0 ) pelos pontos ( x 0 , y 0 ) :

y - 0 = m ( x - 0 )

- m x + y = 0

A equação da reta também pode ser escrita como:

a x + b y + c = 0

Onde:

a = - m             b = 1             c = 0    

Para nós obtermos a equação da reta que passa por (0,0) nos falta obter a inclinação m .

Passo 3

Para calcular a inclinação podemos usar a expressão da distância do centro até a reta tangente, dada por:

d C . r e t a = a x 0 + b y 0 + c a ² + b ²

Nesta formula os termos x 0 e y 0 são relativos ao centro do círculo!!

Sabendo que a reta tangência a circunferência:

d C . r e t a = r = 2

Substituindo os dados na fórmula:

- m . 2 + 1.1 + 0 ( - m ) ² + 1 ² = 2

- 2 m + 1 m 2 + 1 = 2

1 - 2 m = 2 ( m ² + 1 )

Elevando ambos os lados ao quadrado para remover a raiz:

( 1 - 2 m ) ² = 2 ² ( m 2 + 1 ) ²

1 ² - 4 m + 4 m ² = 4 ( m ² + 1 )

1 - 4 m + 4 m ² = 4 m ² + 4

- 3 = 4 m

m = - 3 4

Uma vez que descobrimos a inclinação vamos lança-la na fórmula do Passo 1:

3 4 x + y = 0

Legal, não foi?

Resposta

3 4 x + y = 0

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