Nos exercícios 25 a 34, ache dy/dx

33.tgx + tgy = xy

Passo 1

Como não podemos separar y de x em cada lado, vamos precisar fazer derivação implícita. Primeiro fazemos a derivada de ambos os lados da equação dada:

d d x t g x + t g y = d d x x y

Passo 2

Vamos primeiro resolver o lado esquerdo:

d d x t g x + t g y = d d x t g x + d d x ( t g y )

A primeira derivada que apareceu podemos resolver diretamente:

d d x t g x = s e c 2 x

Na segunda precisamos aplicar a Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função de fora:

d d t t g t = s e c 2 t

E substituímos t pela função de dentro, no caso y, para então multiplicarmos tudo pela derivada de y, assim:

y ' s e c 2 y

Passo 3

Agora vamos fazer o lado direito:

d d x x y

Aplicaremos a Regra do Produto, ficaremos com:

d d x x y + x d d x ( y )

Resolvendo tudo diretamente, isso será:

y + x y '

Passo 4

Agora basta substituirmos os dois resultados no nosso Passo 1:

s e c 2 x + y ' s e c 2 y = y + x y '

Reescrevendo:

- x y ' + y ' s e c 2 y = y - s e c 2 x

y ' s e c 2 y - x = y - s e c 2 x

y ' = d y d x = y - s e c 2 x s e c 2 y - x

Resposta

d y d x = y - s e c 2 x s e c 2 y - x

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