Enunciado

(a) Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 3 x + 6 cos ⁡ x   no ponto π 3 ,   π + 3 .

(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema fio dada a função

y = 3 x + 6 cos ⁡ x

E nosso objetivo é determinar a equação da reta tangente a essa função no ponto x 0 , y 0 = π 3 ,   π + 3 e esboçar y e a reta.

Parece complicado?

Primeiramente vamos relembrar como calculamos uma reta tangente a uma curva?

A equação que descreve uma reta é dada por

y - y 0 = m x - x 0

No caso de uma reta tangente, podemos dizer que m = y ' x 0 , ou seja, a derivada de y aplicada no ponto x 0 e x 0 , y 0 é o ponto de tangencia da curva.

Bora lá!

Passo 2

Pelos dados do enunciado, temos que x 0 , y 0 = π 3 ,   π + 3 . Então só nos resta derivar y e aplicar o ponto x 0 .

Se y = 3 x + 6 cos ⁡ x , derivando essa curva, vamos obter

y ' = d 3 x + 6 cos ⁡ x d x = d 3 x d x + d 6 cos ⁡ x d x

Pela regra da potência, sabemos que

d 3 x d x = 3 x 1 - 1 = 3

E pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de cos ⁡ x é

d 6 cos ⁡ x d x = - 6 sin ⁡ x

Substituindo em y ' , vamos obter

y ' = d 3 x d x + d 6 cos ⁡ x d x

y ' = 3 - 6 sin ⁡ x

Aplicando o ponto x 0 = π 3 , temos

y ' x 0 = 3 - 6 sin ⁡ π 3

y ' x 0 = 3 - 6 3 2

y ' x 0 = 3 - 3 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Como vimos no passo 1, m = y ' x 0 e x 0 , y 0 é o ponto de tangencia da curva.

Substituindo essas informações na equação da reta, vamos obter que

y - y 0 = m x - x 0

y - π + 3 = 3 - 3 3 x - π 3

Simplificando essa expressão, vamos obter

y - π - 3 = 3 - 3 3 x - 3 - 3 3 π 3

y = 3 - 3 3 x - π + 3 π + 3 + π

y = 3 - 3 3 x + 3 π + 3

Show?

Passo 4

Por fim, temos que esboçar os gráficos da curva e da reta tangente...

A reta tangente é mais fácil, se y = 3 - 3 3 x + 3 π + 3 então a reta vai cruzar o eixo y em 3 π + 3 e o eixo x em - 3 π + 3 / 3 - 3 3 .

Já a função dada no problema tem um termo linear 3 x que é somado à função trigonométrica 6 cos ⁡ x . Assim essa função pode ser expressa como a reta 3 x com uma oscilação devido à soma com 6 cos ⁡ x .

Condensando tudo isso em um gráfico, vamos obter

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y = 3 - 3 3 x + 3 π + 3

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