Enunciado

Ache as equações das retas tangente e normal à curva y = 8 s e n 3 2 x no ponto π 12 ,   1 .

Passo 1

Para encontrar as duas retas, vamos precisar calcular a derivada da curva, para obtermos as inclinações das nossas retas.

y ' = d d x 8 s e n 3 2 x

Passo 2

Para resolvermos essa derivada vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia duas vezes. Fazemos a derivada da função ‘mais de fora’, que é a potência ao cubo (a constante está do lado de fora dessa potência):

d d t 8 t 3 = 24 t 2

Agora substituímos t pela função de dentro e multiplicamos tudo pela derivada dela:

d d x 8 s e n 3 2 x = 24 s e n 2 2 x d d x ( s e n 2 x )

Devemos aplicar a Regra da Cadeia novamente na derivada que apareceu:

d d x s e n 2 x = c o s 2 x d d x 2 x = 2 c o s 2 x

Substituindo na conta anterior:

y ' = d d x 8 s e n 3 2 x = 48 c o s 2 x   s e n 2 2 x

Passo 3

Precisamos substituir as coordenadas do ponto na equação que acabamos de conseguir para calcular a inclinação da nossa reta tangente:

y ' = 48 c o s 2 π 12 s e n 2 2 π 12 = 6 3

Agora podemos escrever a equação da reta:

y - y p = y ' ( x - x p )

Bastando substituir os valores do ponto e da inclinação na equação acima:

y - 1 = 6 3 x - π 12

y = 6 3 x - π 12 + 1

Passo 4

Agora que já sabemos o valor de y’, podemos através dele obter a inclinação da reta normal, como a reta normal está rotacionada 90 graus em relação à tangente, podemos usar a seguinte operação para obtermos a inclinação dela:

T = - 1 y '

Substituindo y’:

T = - 1 6 3

Passo 5

Para o caso da reta normal, nossa equação da reta será:

y - y p = T ( x - x p )

Substituindo os valores, ficamos com:

y - 1 = - 1 6 3 x - π 12

y = - 3 18 x - π 12 + 1

Resposta

Reta tangente: y = 6 3 x - π 12 + 1

Reta normal: y = - 3 18 x - π 12 + 1

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