Enunciado

Se a equação de uma reta tangente à curva f ( x ) em 4,3   passar pelo ponto 0,2 encontre f 4   e   f ' ( 4 ) .

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão juntinhos!

O enunciado fala que a equação da reta tangente à curva f ( x ) em 4,3 também passa pelo ponto ( 0,2 ) e pede pra a gente calcular   f 4   e f ' ( 4 ) !

Ou seja, existe uma reta do tipo

y = m x + b

que passa em dois pontos que a gente, um deles é o ponto ( 0,2 ) e o outro é o ponto ( 4,3 ) , que também pertence a função f ( x ) e que é o ponto de tangencia entre a reta e a função f ( x ) .

Bom, para encontrarmos a equação de uma reta conhecendo dois pontos pertencentes a ela, podemos usar a relação:

m = y 1 - y 2 x 1 - x 2

Que é o coeficiente angular, e depois substituir, na equação geral da reta:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

Ao mesmo tempo, essa mesma equação pode ser obtida através da relação entre a reta e a função ao qual ela tangencia da seguinte forma:

Temos que a reta tangente a curva f ( x ) em um ponto P ( a , f a ) é a reta passando por p com inclinação igual a:

f ' a =   lim x →  a ⁡ f x - f ( a ) x - a

Assim a equação de uma reta qualquer pode ser dada por:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Trazendo pro nosso caso temos que:

f ' 4 =   lim x →   4 ⁡ f x - f ( 4 ) x - 4

Perceba que são duas maneiras de calcular a mesma coisa. Sendo assim, vamos usar as duas para encontra o que o enunciado pediu.

Voltando ao enunciado, queremos achar os valores numéricos de f 4   e f ' ( 4 ) , então vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar procurando f ( 4 )

O enunciado nos diz que a reta tangencia função f x no ponto 4,3 . Sendo assim, o ponto 4,3 é um ponto de intercessão entre a função e a reta. Logo esse ponto pertence a reta e a função f ( x ) ao mesmo tempo.

Então podemos afirmar que:

f 4 = 3

Já matamos uma! Agora vamos voltar para a equação da reta:

Passo 3

Agora vamos buscar f ' a

Para isso, vamos lembrar de equação:

y - f a = f ' a x - a

Substituindo a por 4 , ficamos com valores conhecidos

y - f 4 = f ' ( 4 ) ( x - 4 )

y - 3 = f ' ( 4 ) ( x - 4 )

O enunciado também diz que y passa pelo ponto ( 0,2 ) então podemos substituir x por 0 e y por 2 , nessa equação, ficando com:

2 - 3 = f ' ( 4 ) ( 0 - 4 )

E isolando f ' ( 4 ) , teremos:

f ' 4 = 1 4

Prontinho!

Resposta

f 4 = 3

f ' 4 = 1 4

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