Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 3.Revisão - Ex. 42

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desse livro

Dada d y d x = y k , onde k é uma constante e y, uma função de x, expresse d 3 y d x 3 em termos de y e k.

Passo 1

Como no enunciado diz que y é função de x, precisaremos derivar y aplicando a Regra da Cadeia para cada derivação.

Fazendo a segunda derivada:

d 2 y d x 2 = d d x y k

Passo 2

Pela Regra da Cadeia, primeiro derivamos a função de fora:

d d t t k = k t k - 1

E então substituímos t pela função de dentro, no caso y, e multiplicamos tudo pela derivada dessa função:

d 2 y d x 2 = k y k - 1 d y d x

Como podemos perceber, nós conhecemos d y d x do enunciado, então basta substituir:

d 2 y d x 2 = k y k - 1 y k = k y 2 k - 1

Passo 3

Agora vamos derivar o resultado mais uma vez para obtermos a terceira derivada:

d 3 y d x 3 = d d x   k y 2 k - 1

Aplicando a Regra da Cadeia novamente:

d 3 y d x 3 = k 2 k - 1 y 2 k - 2 d y d x = k 2 k - 1 y 2 k - 2 y k

E isso será:

d 3 y d x 3 = k 2 k - 1 y 3 k - 2

Resposta

d 3 y d x 3 = k 2 k - 1 y 3 k - 2

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