Enunciado

Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) .

29. s e n (x + y) + s e n (x - y) = 1

Passo 1

Como não podemos separar o x e o y na equação, precisaremos derivar implicitamente. Então aplicamos a derivada de x nos dois lados:

(d)/(d x) [s e n (x + y) + s e n (x - y)] = (d)/(d x) (1)

Passo 2

O lado direito é simples:

(d)/(d x) (1) = 0

E no lado esquerdo vamos precisar de um pouco mais de trabalho:

(d)/(d x) [s e n (x + y) + s e n (x - y)]

Vamos separar em duas derivadas, e resolver uma de cada vez:

(d)/(d x) [s e n (x + y)] + (d)/(d x) [s e n (x - y)]

Passo 3

Fazendo a primeira:

(d)/(d x) [s e n (x + y)]

Precisamos aplicar a Regra da Cadeia. Derivamos a função de fora primeiro:

(d)/(d x) (s e n t) = c o s t

Substituímos t pela função de dentro e depois multiplicamos pela derivada da função de fora, assim:

cos (x + y) (d)/(d x) (x + y)

Separando os dois termos na derivada:

cos (x + y) [(d)/(d x) (x) + (d)/(d x) ( y )]

E as duas derivadas podem ser feitas diretamente:

(d)/(d x) (x) = 1

(d)/(d x) (y) = y^'

Assim:

cos (x + y) ( 1 + y^' )

Passo 4

Na derivada que deixamos em segundo lugar, vamos ter que aplicar os mesmos passos:

(d)/(d x) [s e n (x - y)]

Primeiro aplicamos a Regra da Cadeia, resultando:

c o s ( x - y ) (d)/(d x) ( x - y )

Separamos os dois termos que apareceram na derivada, e fazemos um de cada vez:

c o s ( x - y ) [(d)/(d x) ( x ) - (d)/(d x) ( y )]

Que fica o seguinte:

cos (x - y) ( 1 - y^' )

Passo 5

Agora basta substituir os resultados dos Passos 3 e 4 na equação que separamos do Passo 1:

(d)/(d x) [s e n (x + y) + s e n (x - y)] = (d)/(d x) (1)

cos (x - y) (1 - y^') + cos (x + y) (1 + y^') = 0

Reescrevendo:

cos (x - y) (1 - y^') = - c o s ( x + y ) ( 1 + y^' )

cos (x - y) - y^' cos (x - y) = - cos (x + y) - y ' c o s ( x + y )

y^' cos (x + y) - y^' cos (x - y) = - [cos (x + y) - cos (x - y)]

y^' = (d y)/(d x) = - (cos (x + y) + c o s ( x - y ))/(cos (x + y) - c o s ( x - y ))

Resposta

(d y)/(d x) = - (cos (x + y) + c o s ( x - y ))/(cos (x + y) - c o s ( x - y ))

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