Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = 2 x + 1 x + 2 ,     ( 1,1 )

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

y = 2 x + 1 x + 2

E pede pra a gente achar a equação da reta tangente de y no ponto ( 1,1 ) Como podemos fazer isso?!

Sabemos que f ' a é a inclinação da reta tangente quando x = a , também chamada de m . Temos que:

f ' a =   lim x →  a ⁡ f x - f ( a ) x - a

E esse é o primeiro passo para encontrarmos a reta tangente. Após encontrarmos f ' ( a ) , vamos utilizar da fórmula:

y - y 1 = m x - x 1

Que é de fato a fórmula para a reta tangente no ponto genérico ( x 1 , y 1 ) . No nosso caso o ponto é o:

( 1,1 )

Agora bora colocar a mão na massa?!

Passo 2

Substituindo a equação acima, temos:

Temos então:

f x = y = 2 x + 1 x + 2

Como nosso ponto é ( 1,1 ) a = x = 1 :

f 1 = 2 1 + 1 1 + 2

Agora substituindo no limite:

f ' 1 =   lim x →   1 ⁡ 2 x + 1 x + 2 - 2 1 + 1 1 + 2 x - 1

Realizando o cálculo no numerador:

=   lim x →   1 ⁡ 2 x + 1 x + 2 - 1 x - 1

Agora realizando o m m c no numerador:

= lim x →   1 ⁡ 2 x + 1 x + 2 - x + 2 x + 2 x - 1

Organizando a divisão de frações:

= lim x →   1 ⁡ x - 1 x + 2 x - 1 = lim x →   1 ⁡ x - 1 x + 2 ∙ 1 x - 1

Simplificando termos semelhantes:

= lim x →   1 ⁡ 1 x + 2

Calculando temos:

lim x →   1 ⁡ 1 x + 2 = 1 3

  Achamos a inclinação da reta, agora é só substituir na relação da reta.

Passo 3

A equação de uma reta qualquer pode ser dada por:

y - y 1 = f ' ( a ) ( x - x 1 )

Levando pro nosso caso, temos o ponto ( 1,1 ) , então, isso significa que x 1 = 1 ,   e   y 1 = 1 :

y - 1 = 1 3 ( x - 1 )

Realizando os cálculos necessários:

y = 1 3 x - 1 3 + 1

Temos então nossa equação da reta tangente:

y = 1 3 x + 2 3

Prontinho!

Resposta

y = 1 3 x + 2 3

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Ache uma equação de reta tangente ao gráfico da função seno no ponto x = 0 x = π 3 x = π
Prove que a reta tangente à curva y = - x 4 + 2 x 2 + x no ponto ( 1 ,2 ) é também tangente à curva em um outro ponto e determine esse ponto
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Ache uma equação da reta normal à curva x - y = sqrt(x + y) no ponto ( 3 , 1 )
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