Enunciado

Ache os extermos relativos das funções trigonométricas dadas usando o teste da derivada segunda.

f x = sen ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de f x .

f x = sen ⁡ x + cos ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x - sen ⁡ x

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. Aqui só vamos olhar quando a derivada é 0 .

f ' x = 0 → cos ⁡ x - sen ⁡ x = 0

cos ⁡ x = sen ⁡ x

tan ⁡ x = 1

A tangente é 1 em:

x = π 4 + k π

Com k nos inteiros.

Temos:

Os nossos pontos críticos são

x = π 4 + k π

Passo 2

Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

f ' ' x = - sen ⁡ x - cos ⁡ x

Temos que ver o valor de f ' ' x para x = π 4 + k π . Nesses pontos, o seno e cosseno serão iguais. O que vai mudar eventualmente são os sinais.

Se separarmos k nos números pares e ímpares, vamos ter, para k par, k = 2 n .

Assim,

x = π 4 + 2 n π

Vai ter valores de seno e cosseno positivos.

O que faz com que f ' ' x < 0 . Assim, são pontos de Máximo relativo.

Passo 3

E para k ímpar, k = 2 n + 1 ,

x = π 4 + 2 n + 1 k

Vai ter valores de seno e cosseno negativos.

O que faz com que f ' ' x > 0 . Assim, são os pontos de Mínimo relativo.

Resposta

x = π 4 + 2 n π → m í n i m o   r e l a t i v o

x = π 4 + 2 n + 1 π → m á x i m o   r e l a t i v o

Com n inteiro

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