Enunciado

Ache uma equação de reta tangente ao gráfico da função tangente no ponto

  1. x = 0
  2. x = π 4
  3. x = - π 4

Passo 1

Bom, a questão pede para encontrarmos a reta tangente, ou seja, a reta que encosta em um único ponto da função no gráfico:

No caso da letra a) esse ponto tem coordenada x = 0 . O valor da nossa função nesse ponto é:

f x = t a n x

f 0 = t a n 0 = 0

Passo 2

Agora que já sabemos os valores de x e y no gráfico, devemos encontrar a inclinação dessa reta. Para isso calculamos o valor da derivada nesse mesmo ponto:

f ' x = s e c 2 x

No ponto x = 0 :

f ' 0 = s e c 2 0 = 1

Passo 3

Já temos tudo para escrever a equação da reta que passa no ponto (0,0) da nossa função tangente, a equação da reta é escrita assim:

y - y p = T ( x - x p )

T é o valor da inclinação da reta que calculamos antes, que no caso do item a) é 1. E x p e y p são as coordenadas do ponto que encontramos onde passa a reta, nossa equação então fica:

y - 0 = 1 ( x - 0 )

E isso é:

y = x

E a reta no gráfico ficará assim:

Passo 4

Para as letras b) e c) repetimos o mesmo processo, a letra b) o valor da função em que x = π 4 é

f π 4 = t a n π 4 =   1

E a inclinação, calculada pela derivada da função:

f ' - π 4 = sec 2 ⁡ π 4 =   2

Tendo o valor da inclinação e do ponto π 4 ,   1 , já podemos escrever a equação da reta:

y - 1 =   2 x - π 4

y = 2 x -   π 2 + 1  

Passo 5

E por fim, na letra c), com x =   - π 4 a função fica:

f - π 4 = t a n - π 4 =   - 1

E a inclinação, calculada pela derivada da função:

f ' - π 4 = sec 2 ⁡ - π 4 =   2

Então a equação da reta tangente ao ponto   - π 4 ,   - 1 será:

y - - 1 =   2 x - - π 4

y = 2 x +   π 2 - 1  

Resposta

  1. y = x
  2. y = 2 x - π 2 + 1  
  3. y = 2 x + π 2 - 1  
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