Enunciado

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum.

f x = x + 2 x - 2

- 4,4

Passo 1

Essa função é racional, então ela não vai estar definida quando o denominador for 0 . Antes de olharmos qualquer coisa é importante conferirmos se esses pontos que estão no intervalo.

Se eles tiverem são candidatos a assíntotas verticais, que podem fazer com que a função não tenha extremo.

Vamos começa achando o ponto maldito

x - 2 = 0

x = 2

Opa, ele estã no intervalo, então temos que fazer aquele procedimento de ver se é assíntota e qual infino ele vai.

Vamos calcular:

lim x → 2 + ⁡ f x

lim x → 2 - ⁡ f x

Passo 2

Começando com o limite pela direita

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ x + 2 x - 2 = 2 + 2 2 - 2 = 4 0

Opa, deu um número sobre 0 então esse cara vai para . Falta ver se é + ou - .

Como estamos no limite pela direita, que são os números maiores que 2 , vamos ter que x - 2 é positivo.

O denominador vai ser 2 + 2 = 4 , porque x está bem pertindo de 2 . Então também é positivo.

Dessa forma, a fração vai ser positiva, divisão de dois números positivos.

E vamos ter

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ x + 2 x - 2 = + ∞

Isso já diz para nós que não temos Máximo absoluto.

Passo 3

Vamos para o limite pela esquerda

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ x + 2 x - 2 = 2 + 2 2 - 2 = 4 0

Opa, deu um número sobre 0 então esse cara vai para . Falta ver se é + ou - .

Como estamos no limite pela esquerda, que são os números menores que 2 , vamos ter que x - 2 é negativo.

O denominador vai ser 2 + 2 = 4 , porque x está bem pertindo de 2 . Então também é positivo.

Dessa forma, a fração vai ser negativa, divisão de um número positivo por um negativo.

E vamos ter

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ x + 2 x - 2 = - ∞

Isso já diz para nós que não temos mínimo absoluto.

Então no final das contas essa função não tem extremo.

Resposta

Não possui extremos absolutos

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