Enunciado

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum.

f x = 4 x 2 - 2 x + 1

- ∞ , ∞

Passo 1

Essa função é um polinômio, então ela é contínua em todo o intervalo.

Nessa situação, para acharmos os extremos absolutos precisamos achar os extremos relativos que estejam no intervalo e depois os valores da função nos extremos do intervalo.

OBS: se o extremo do intervalo for aberto, não tem como calcular o valor ali, o que precisamos fazer é o limite da função.

Vamos procurar o extremo dessa função, primeiro com os pontos críticos, que são os pontos onde não existe derivada ou ela é 0

f ' x = 8 x - 2

Aqui sempre teremos a derivada, vamos ver só quando é 0 .

8 x - 2 = 0

x = 1 4

Ele está no intervalo, então vamos ver se é extremo.

Passo 2

Vamos usar o teste da segunda derivada para verificar se ele é máximo ou mínimo relativo.

Lembrando, se f ' ' x > 0 então é mínimo, se f ' ' x < 0 então é máximo.

Temos,

f ' ' x = 8

Para x = 1 4

f ' ' 1 4 = 8 > 0

Logo é ponto de mínimo relativo

Passo 3

Agora vamos pegar as bordas do intervalo, mas elas são infinito. Como faz isso? Basta calcularmos os limites no infinito mesmo:

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Vamos colocar x 2 em evidência:

f x = x 2 4 - 2 x + 1 x 2

Os limites vão ser

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 4 - 2 x + 1 x 2 = + ∞ 2 4 - 0 + 0 = + ∞ . 4 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 4 - 2 x + 1 x 2 = - ∞ 2 4 - 0 + 0 = + ∞ . 4 = + ∞

Esse dois vão fizer que não temos valor de máximo absoluto.

Passo 4

Por fim, temos que comparar os valores de f x para os extremos relativos que pegamos e para as boras do intervalo. Mas só sobrou aquele mínimo, então ele vai ser absoluto mesmo.

O valor da função vai ser

f 1 4 = 4 1 4 2 - 2 1 4 + 1 = 4 16 - 2 4 + 1 = 4 - 8 + 16 16 = 12 16 = 3 4

Resposta

x = 1 4 → f 1 4 = 3 4 → M í n i m o   a b s o l u t o

Não possúi máximo absoluto.

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