Enunciado

61. Ache uma função cúbica

y = a x 3 + b x 2 + c x + d

cujo gráfico tem tangentes horizontais nos pontos ( - 2,6 ) e ( 2,0 )

Passo 1

Opa, bora lá! Inicialmente vamos fazer o que é o mais simples pra gente! Vamos substituir os valores dos pontos na equação!

Assim:

( - 2,6 )

6 = a - 2 3 + b - 2 2 + c - 2 + d

6 = - 8 a + 4 b - 2 c + d

Agora o próximo ponto:

( 2,0 )

0 = a 2 3 + b 2 2 + c 2 + d

0 = 8 a + 4 b + 2 c + d

Guarde essas equações usaremos depois!

Vamos para a segunda informação, que é tangente horizontal!

Passo 2

O que o problema diz com tangente horizontal?

A ideia é simples! Apenas que a derivada nesses pontos de tangente horizontal é igual a zero! Simples né?

Fazer a derivada de

y = a x 3 + b x 2 + c x + d

d y d x = d d x a x 3 + d d x b x 2 + d d x c x + d d x d

d y d x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Os pontos em que a tangente é horizontal são de abscissa igual a - 2 e 2 , então substituindo esses valores em x , temos:

x = - 2

3 a - 2 2 + 2 b - 2 + c = 0

12 a - 4 b + c = 0

x = 2 3 a 2 2 + 2 b 2 + c = 0

12 a + 4 b + c = 0

Passo 3

Aquelas expressões que calculamos la no passo 1, vão servir agora hein! Espero que tenha anotado...

- 8 a + 4 b - 2 c + d = 6

8 a + 4 b + 2 c + d = 0

12 a - 4 b + c = 0

12 a + 4 b + c = 0

Somando a terceira com o inverso da quarta, temos:

12 a - 4 b + c - 12 a + 4 b + c = 0

12 a - 4 b + c - 12 a - 4 b - c = 0

- 8 b = 0

b = 0

Somando a primeira com a segunda, temos:

- 8 a + 4 b - 2 c + d + 8 a + 4 b + 2 c + d = 6

8 b + 2 d = 6

Lembrando que b = 0 :

2 d = 6

d = 3

Substituindo os valores calculados de b e d na primeira e terceira equação, temos:

- 8 a + 4 0 - 2 c + 3 = 6

- 8 a - 2 c = 3

8 a + 2 c = - 3

12 a - 4 0 + c = 0

12 a + c = 0

c = - 12 a

Substituindo c = - 12 a na equação abaixo, temos:

8 a + 2 c = - 3

8 a + 2 - 12 a = - 3

8 a - 24 a = - 3

- 16 a = - 3

a = 3 16

Para finalizar, ufaaa! Calcularemos o c :

c = - 12 a

c = - 12 3 16 = - 36 16 = - 9 4

Com todos os coeficientes calculados apenas vamos substituir na expressão inicial!

a = 3 16

b = 0

c = - 9 4

d = 3

y = 3 16 x 3 - 9 4 x + 3

Prontinho!

Resposta

y = 3 16 x 3 - 9 4 x + 3

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