Enunciado

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Nos exercícios de 7 a 12, ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ( x 1 , y 1 ) . Faça uma tabela de valores de x, y e m nos vários pontos do gráfico e inclua na tabela os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. Faça um esboço do gráfico.

11)   y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 2

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 2 , temos:

f x 1 + ∆ x = x 1 + ∆ x 3 - 6 x 1 + ∆ x 2 + 9 x 1 + ∆ x - 2 e

f x 1 = x 1 3 - 6 x 1 2 + 9 x 1 - 2

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ x 1 + ∆ x 3 - 6 x 1 + ∆ x 2 + 9 x 1 + ∆ x - 2 - x 1 3 - 6 x 1 2 + 9 x 1 - 2 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável, temos:

m x 1 = 3 x 1 2 ∆ x - 6 x 1 ∆ x + 9 ∆ x + ∆ x 3 - 6 ∆ x 2 ∆ x

Simplificando:

m x 1 = 3 x 1 2 - 6 x 1 + 9

Passo 2

Agora apresentaremos uma tabela com alguns valores de x, y e m no intervalo ] - 1,5 ]

Passo 3

Agora faremos o esboço do gráfico:

Resposta

Inclinação da reta tangente: m x 1 = 3 x 1 2 - 6 x 1 + 9

Tabela de valores de x, y e m:

Gráfico:

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