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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 2.5 - Ex. 27

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Ache o limite

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 4 x + 4

Passo 1

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Tem um polinômio dentro da Raiz? Então vamos usar a mesma ideia desse tipo de questão.

Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

x 2 + 4 x + 4

Passo 2

O nosso numerador é

x 2 + 4

Colocando x 2 em evidência dentro da raiz, vamos ter

x 2 1 + 4 x 2

Podemos tirar aquele x 2 da raiz. Mas precisamos lembrar de uma coisa muuuuito importante.

Cuidado para não fazer x 2 = x . Na verdade a raiz de x 2 vai ser x . Isso porque raiz quadrada deve ser sempre positiva.

x 2 = x

Nosso numerador vai ficar

x 1 + 4 x 2

Passo 3

O nosso denominador vai ser

x + 4

Colocando x em evidência

x 1 + 4 x

Passo 4

A nossa fração vai ficar

x 2 + 4 x + 4 = x 1 + 4 x 2 x 1 + 4 x

A parada agora é como tirar aquele módulo. Vamos olhar qual limite que ele pede. É para x → + ∞ certo? Então ele quer valores positivos de x . Então temos que fazer

x = x

Se fosse x → - ∞ deveríamos tomar

x = - x

Beleza?

x 1 + 4 x 2 x 1 + 4 x = x 1 + 4 x 2 x 1 + 4 x = 1 + 4 x 2 1 + 4 x

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 4 x + 4 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 4 x 2 1 + 4 x

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 4 x 2 1 + 4 x = 1 + 0 1 + 0 = 1 1 = 1

Resposta

1

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