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Ache o limite

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 1 3 - x

Sugestão: Primeiro obtenha uma fração com um numerador racional.

Passo 1

Se tentarmos substuir o infinito vamos achar uma indeterminação. Vamos seguir a sugestão dele. Mas como fazermos isso?

Quando nos depararmos com uma subtração de tendo um dos termos sendo uma raiz cúbica, temos que fazer uma conta um pouco mais chata. Que vai ser essa aqui:

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

Na nossa questão

a = x 3 + 1 3

b = x

A nossa fração vai ficar

x 3 + 1 3 - x 1 . x 3 + 1 3 2 + x 3 + 1 3 x + x 2 x 3 + 1 3 2 + x 3 + 1 3 x + x 2 =

x 3 + 1 3 3 - x 3 x 3 + 1 3 2 + x x 3 + 1 3 + x 2 =

x 3 + 1 - x 3 x 3 + 1 3 2 + x x 3 + 1 3 + x 2 =

1 x 3 + 1 3 2 + x x 3 + 1 3 + x 2

Opa, chegamos na fração que ele queriamos.

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Tem um polinômio dentro da Raiz? Então vamos usar a mesma ideia desse tipo de questão.

Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

1 x 3 + 1 3 2 + x x 3 + 1 3 + x 2

Aqui, por mais que só tenha um número no numerado, vamos resolver desse jeito porque o denominador é o cão chupando manga do avesso.

Passo 2

O nosso numerador é

1

Não precisamos nos preocupar.

Passo 3

O nosso Denominador é

x 3 + 1 3 2 + x x 3 + 1 3 + x 2

Vamos trabalhar com calma.

Colocando x 3 em evidência dentro da primeira raiz raiz, vamos ter

x 3 + 1 3 = x 3 1 + 1 x 3 3

Podemos tirar aquele x 3 da raiz.

Temos

x 3 3 = x

Vamos ter:

x 1 + 1 x 3 3

Aqui não precisamos nos preocupar com módulo porque a raiz é ímpar.

Passo 4

O denominador vai ficar

Nosso denominador vai ficar

x 1 + 1 x 3 3 2 + x x 1 + 1 x 3 3 + x 2

Fazendo as contas

x 2 1 + 1 x 3 3 2 + x 2 1 + 1 x 3 3 + x 2

Agora colocarmos o x 2 em evidência em tudo.

x 2 1 + 1 x 3 3 2 + 1 + 1 x 3 3 + 1

Passo 5

A nossa fração vai ficar

1 x 3 + 1 3 2 + x x 3 + 1 3 + x 2 = 1 x 2 1 + 1 x 3 3 2 + 1 + 1 x 3 3 + 1

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 + 1 3 2 + x x 3 + 1 3 + x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 1 + 1 x 3 3 2 + 1 + 1 x 3 3 + 1

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 1 + 1 x 3 3 2 + 1 + 1 x 3 3 + 1 = 1 + ∞ 2 1 + 0 3 2 + 1 + 0 3 + 1 = 1 + ∞ = 0

Resposta

0

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