Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 + ∞ e x e 2 x + 3   d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Como um dos limites de integração é infinito, essa é uma integral imprópria do tipo 1. Então, vamos reescrevê-la trocando o limite infinito por t e em seguida fazer t → ∞ . Assim:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e x e 2 x + 3   d x

Vamos lá!

Passo 2

Queremos calcular a integral:

∫ 0 t e x e 2 x + 3   d x

Para isso, vamos fazer u = e x . Assim, d u = e x d x . Além disso, quando x = 0 , temos u = e 0 = 1 , e quando x = t , temos u = e t . Então, substituindo tudo na integral, teremos:

= ∫ 1 e t 1 3 + u 2 d u

Ainda não tá muito legal de resolver, né? Então, agora vamos fazer u = 3   w , de modo que d u = 3   d w . Assim, vamos ter:

1 3 ∫ 3 3 e t 1 3 + 3 w 2 d w

Então, integrando:

1 3 3 a r c t g   w 3 3 e t

E aplicando os limites de integração, temos:

= 1 3 3 a r c t g   3 e t - π 3

Passo 3

Agora vamos lembrar lá do passo 1 , onde definimos a integral imprópria, e calcular o limite para t → ∞ , usando esse resultado que encontramos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e x e 2 x + 3   d x = lim t → ∞ ⁡ 1 3 3 a r c t g   3 e t - π 3

Assim, aplicando o limite, temos:

= 1 3 3 π 2 - π 3

E simplificando, encontramos:

= π 18 3

Desta forma, vemos que a integral é convergente.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 18 3

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Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. y = x e - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
Ache o comprimento da curva. y = 1 + 6 x 3 / 2 , 0 ≤ x ≤ 1
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva. y = x 5 6 + 1 10 x 3 , 1 ≤ x ≤ 2
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1