Enunciado

Determine um número positivo para o qual a soma da sua recíproca e quatro vezes o seu quadrado seja é o menor possível.

Passo 1

Vamos fazer esse número sendo sse número sendo x , o seu recíproco vai ser 1 x

A soma que ele disse vai ficar:

S x = 4 x 2 + 1 x

Com x > 0

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Primeiro fazemos:

S x = 4 x 2 + 1 x

Escrevendo a fração como potência:

S x = 4 x 2 + x - 1

Derivando S ,

S ' = 8 x - x - 2

Fazendo isso igual a 0

8 x - x - 2 = 0

x - 2 = 8 x

1 x 2 = 8 x

x 3 = 1 8

x = 1 2

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo, como ele vai a partir de 0 , o seu outro extremo é o + ∞

S x = 4 x 2 + 1 x

Vamos ter:

x → 0 → S 0 = 4 0 2 + 1 0 = ∞

x = 1 2 → S 1 = 4 1 2 + 1 1 = 4 + 1 = 5

x → ∞ → S ∞ = 4 ∞ 2 + 1 ∞ = ∞

O menor dos 3 valores é quando x = 1 2

Resposta

1 2

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