Enunciado

Ache os números críticos da função dada.

g (t) = s e n 2 t cos 2 t

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que g^' (t) = 0 ou que g ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

O domínio de g é a reta real toda. Tomando a derivada pela regra do produto:

g^' (t) = (s e n 2 t)^' * cos 2 t + s e n 2 t * (cos 2 t)^' = 2 cos^2 2 t - 2 s e n^2 2 t

Usando que cos 2 theta = cos^2 theta - s e n^2 2 theta temos que:

g^' (t) = 2 cos 4 t

Como g ' é definida em todos os pontos, os números críticos de g serão apenas os que anulam a derivada.

Passo 2

Agora vamos igualar a derivada a 0 :

2 cos 4 t = 0 => cos 4 t = 0

Assim,

4 t = (pi)/(2) + n pi , n in Z

Desta forma, os pontos críticos de g serão

t = (pi)/(8) + (n pi)/(4) , n in Z

Resposta

t = (pi)/(8) + (n pi)/(4) , n in Z

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