Enunciado

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado

f x = x - ln ⁡ x ,     1 2 , 2

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui necessitamos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função dada no intervalo dado.

Iremos avaliar o valor de f ( x ) em cada um dos pontos críticos e também nos pontos extremos. Entre estes, o valor máximo de f ( x ) é o máximo absoluto. E, o valor mínimo de f ( x ) é o mínimo absoluto. Note que haverá apenas um máximo absoluto e um mínimo absoluto. Além disso, observe que tudo isso é verdade apenas quando os intervalos são fechados.

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f para encontrar os números críticos. Os pontos críticos de f ( t ) são os valores de t nos quais f ' ( t ) não existe, ou, se existir, é igual a zero.

Então

f ' x = 1 - 1 x

Igualando a zero

1 - 1 x = 0

x - 1 x = 0

No numerador

x - 1 = 0

x = 1

Se o denominador for igual a zero, teremos que f ' ( x ) não estará definido, então também teremos um número crítico, logo, igualando o denominador a zero, ficamos com

x = 0

Passo 3

Aplicando o método do intervalo fechado,

necessitamos calcular f 1 2 ,   f 1   e   f 2 . Note que f ( 0 ) não será calculado porque esse ponto não está dentro do intervalo dado. Então

f 1 2 ≈ 1,19

f 1 = 1

f 2 ≈ 1,31

Com isso, podemos ver que f 2 ≈ 1,31 é um ponto de máximo absoluto e f 1 = 1 é um ponto de mínimo absoluto

Resposta

f 2 ≈ 1,31 é um ponto de máximo absoluto e f 1 = 1 é um ponto de mínimo absoluto

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