Enunciado

Mostre que 5 é um número crítico da função

g x = 2 + ( x - 5 ) 3

mas que g não tem um valor extremo local em 5 .

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Devemos aqui mostrar que 5 é um número crítico da função dada, porém devemos também mostrar que a função dada não tem um extremo local no mesmo ponto 5.

Os pontos críticos de uma função são os pontos de onde f ' x = 0 ou em pontos onde a f ( x ) não existe.

Passo 2

Vamos lá, para mostrar que 5 é um número crítico da função temos que calcular a derivada de g x e aplicar o valor 5 .

Para fazer isso vamos usar algumas regras de derivação, o da cadeia, da função constante e do polinômio:

F ' x = f ' g x . g ' x

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Vamos aplicar as regras e derivar:

g ' x = 2 + x - 5 3 '

= 0 + 3 x - 5 3 - 1 x - 5 '

= 3 x - 5 2 x 1 - 1 - 0

= 3 x - 5 2 . 1

= 3 x - 5 2

Agora é só aplicar o valor 5 , simples:

g ' 5 = 3 5 - 5 2 = 3.0 = 0

Passo 4

Vamos agora ver que g não tem um valor extremo local em 5 , vamos calcular g 5 :

g 5 = 2 + ( 5 - 5 ) 3 = 2

Vamos ver se g pode ter um máximo local, para isso f 5 ≥ f x quando x tá nas proximidades de 5 , então vamos calcular o f de valores na proximidade de 5 :

f 4,5 = 2 + ( 4,5 - 5 ) 3 = 1,875

f 5,5 = 2 + ( 5,5 - 5 ) 3 = 2,125

Eita, vemos que por não termos f 5 ≥ f ( x ) não tem um máximo local, f assume valores maiores e menores que 2 .

Se é assim, ele também não tem um mínimo local, a condição pra tal seria f 5 ≤ f x .

Resposta

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