Ache os números críticos da função dada.

f(x) = (x + 1) / (x^2 - 5x + 4)

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que f ' x = 0 ou que f ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

Antes de derivarmos f precisamos olhar para o seu domínio:

x 2 - 5 x + 4 ≠ 0 ⇒ x - 4 x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1     e     x ≠ 4

Assim, D f = x ∈ R     x ≠ 1     e     x ≠ 4 } . Derivando f pela regra da cadeia:

f ' x = x + 1 ' x 2 - 5 x + 4 - x + 1   ( x 2 - 5 x + 4 ) ' x 2 - 5 x + 4 2

Portanto,

f ' x = x 2 - 5 x + 4 - ( 2 x 2 - 3 x - 5 ) x - 1 2 x - 4 2 = - x 2 - 2 x + 9 x - 1 2 x - 4 2 = - x 2 + 2 x - 9 x - 1 2 x - 4 2

Passo 2

Como os pontos que zeram o denominador de f ' não estão no domínio de f , não podem ser considerados pontos críticos de f . Igualando f ' a zero:

x 2 + 2 x - 9 = 0

Assim,

x = - 2 ± 4 + 36 2 = - 1 ± 10

Desta forma, os pontos críticos de f são x = - 1 ± 10 .

Resposta

x = - 1 ± 10

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