Enunciado

Ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a e para a função definida pela equação dada.

f x = 1 + x 3 / 2 ,     a = 0 ,           n = 3

Passo 1

A questão pede para acharmos o polinômio de Taylor de ordem n = 3 da função f x = 1 + x 3 / 2 no ponto a = 0 . Além disso, pede para darmos uma expressão para o resto de Lagrange.

O polinômio de ordem n = 3 em torno de x = a :

P 3 x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 x - a 2 + f ' ' ' a 6 x - a 3

Já o resto é dada por

R 3 x = f ' ' ' ' ξ 24 x - a 4 ,

para algum ξ entre x a a .

Passo 2

Desta forma, precisamos achar f 0 ,   f ' 0 ,   f ' ' 0   e   f ' ' ' ( 0 ) . É evidente que

f 0 = 1

Derivando,

f ' x = 3 2 1 + x 1 / 2 ⇒ f ' 0 = 3 2

Derivando novamente,

f ' ' x = 3 4 1 + x - 1 2 ⇒ f ' ' 0 = 3 4

Fazendo isso mais uma vez:

f ' ' ' x = - 3 8 1 + x - 3 2 ⇒ f ' ' ' 0 = - 3 8

Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 3 será

P 3 x = 1 + 3 2 x + 1 2 ⋅ 3 4 x 2 + 1 6 ⋅ - 3 8 x 3

Logo,

P 3 x = 1 + 3 2 x + 3 8 x 2 - 1 16 x 3

Passo 3

Para o resto, tomamos a quarta derivada

f ' ' ' ' x = 9 16 x + 1 - 5 / 2

Assim, para algum ξ entre 0 e x :

R 3 x = 1 24 ⋅ 9 16 ξ + 1 - 5 2 x 4 = 3 128 ξ + 1 - 5 2   x 4

Resposta

P 3 x = 1 + 3 2 x + 3 8 x 2 - 1 16 x 3         e           R 3 x = 3 128 ξ + 1 - 5 2   x 4

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Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.7 .f x = s e n h x ; a = 0 ; n = 4 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.5 .f x = s e n x ; a = π 6 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.8 .f x = x ; a = 4 ; n = 4 .