Enunciado

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Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.

8 .   f x = x ; a = 4 ; n = 4 .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Já o resto de Lagrange é dado por :

R n x = f n + 1 ε n + 1 ! . x - a n + 1   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   a   e   x  

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 4 x = f 4 + f ´ 4 1 ! . x - 4 + f ´ ´ 4 2 ! . x - 4 2 + f 3 4 3 !   . x - 4 3 + f 4 4 4 !   . x - 4 4

Agora nos resta calcular a primeira, segunda , terceira e quarta derivada aplicada no número a = 4 .

Como f x = x , temos que :

f 4 = 4 = 2

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ x = 1 2 x - 1 2

f ´ 4 = 1 / 4

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ ´ x = - 1 4 x - 3 2

f ´ ´ 4 = - 1 32

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a   teremos:

f 3 x = 3 8 x - 5 2

f 3 4 = 3 / 256

Passo 6

Calculando a quarta derivada e aplicando no número a   teremos:

f 4 x = - 15 16 x - 7 2

f 4 4 = - 15 248

Passo 7

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Taylor desta questão , vem :

P 4 x = 2 + 1 / 4 1 ! . x - 4 + - 1 / 32 2 ! . x - 4 2 + 3 / 256 3 !   . x - 4 3 + - 15 248 4 !   . x - 4 4

P 4 x = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2 + 1 512 x - 4 3 - 5 16384 x - 4 4

Passo 8

Como para o cálculo do resto, necessitamos de f n + 1 ( ε ) , calculemos a quinta derivada da função dada:

f 5 x = 105 31 x - 9 2

f 5 ε = 105 31 ε - 9 2

Passo 9

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para resto de Lagrange desta questão , vem :

R 4 x = f 5 ε 5 ! . x - 4 5 = 105 32 ε - 9 2 5 ! . x - 4 5   ,   c o m   ε   e n t r e   4   e   x

Resposta

P 4 x = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2 + 1 512 x - 4 3 - 5 16384 x - 4 4

R 4 x = 105 32 ε - 9 2 5 ! . x - 4 5

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