Enunciado

23.Numa armação de óculos o tamanho das lentes é dado pela região limitada pelo gráfico da equação r 2 = 4 c o s 2 θ . Quanto material é necessário para cobrir a região?

Passo 1

Para descobrir a quantidade de matiral necessário para cobrir a região, basta descobrirmos a área ocupada pelo gráfico da equação dada.

Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Podemos perceber, que a curva é simétrica com relação a origem e a região em questão pode ser divida em 4 regioes iguais para facilitar os calcuclos. Sendo assim, tomamos os limites de θ de 0 até π 4 , o que determina a área da primeira das 4 regioes iguais. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 4.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 4 . ( 1 2 ∫ 0 π 4 a ( 1 - c o s θ 2 d θ ) = 2 . ∫ 0 π 4 4 c o s 2 θ d θ = 4   u . a .

Logo, são necessários 4 unidades de área de material para cobrir a região.

Resposta

4   u . a .

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