Enunciado

Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada.

f x = cos ⁡ x

a = 0

n = 6

Passo 1

Para calcularmos a formula de Taylor, temos que lembrar como ela é:

P n x = ∑ i = 0 n f i x 0 i ! x - x 0 i

Para calcular o polinômio de Taylor, temos que determinar que é o ponto central do polinômio, o nosso x 0 , e fazer as derivadas para achar o seu padrão.

Ele quer em a = 0 , então, vamos ter:

x 0 = 0

Passo 2

Temos:

f x = cos ⁡ x  

Vamos ter:

P 6 x = ∑ i = 0 6 f i 0 i ! x i

Vamos para as derivadas agora, vamos ter:

g x = cos ⁡ x

Fazendo as derivadas:

f ' x = - sen ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

f ' ' ' x = sen ⁡ x

f i v x = cos ⁡ x

f v x = - sen ⁡ x

f v i x = - cos ⁡ x

Então vamos ter:

f 0 = 1

f ' 0 = 0

f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' 0 = 0

f i v 0 = 1

f v 0 = 0

f v i 0 = - 1

Passo 3

O polinômio de Taylor de cos ⁡ x vai ser:

P 4 x = f 0 0 ! + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f i v 0 4 ! x 4 + f v 0 5 ! x 5 + f v i 0 6 ! x 6

Substituindo os valores:

P 6 x = 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 !

P 6 x = 1 - x 2 2 + x 4 24 - x 6 720

Passo 4

Vamos calcular o Erro de Lagrange agora.

Vamos ter:

R 6 x = f 7 ε 7 ! x 7

Temos:

f 7 ε = sen ⁡ ε

Logo:

R 6 x = sen ⁡ ε 7 ! x 7

Com o ε entre 0 e x .

Como seno é sempre menor que 1 , vamos ter:

R 6 x ≤ 1 7 ! x 7

Resposta

P 6 x = 1 - x 2 2 + x 4 24 - x 6 720

R 6 x ≤ 1 7 ! x 7

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Estime o erro que se comete quando 1 + x é substituído por 1 + 1 2 x ² ² se 0x0,01 .
Calcule o valor exato de e até a quinta casa decimal e prove que sua resposta tem a precisão pedida.
Estime o erro que se comete quando cos ⁡ x é substítuido por 1 - 1 2 x ² ² se x0,1 .
Verifique que s e n x = x + o x 2
Verifique que ln ⁡ x = x - 1 - 1 2 x - 1 2 + o x - 1 2