Enunciado

Determine os valores de n para os quais a seguinte integral imprópria converge.

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x d x x n

Passo 1

Vamos começar calculando:

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x d x x n

Vamos fazer:

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x d x x n = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b ln ⁡ x d x x n

E calcular integral separadamente.

∫ ln ⁡ x d x x n

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ ln ⁡ x d x x n

Para isso, primeiro vamos fazer:

ln ⁡ x = a → d a = 1 x d x

Mas não temos só x no denominador, temos x n , vamos usar então a definição de log, para achar o valor de x em função de a

x = e a

A nossa integral vai ficar:

∫ ln ⁡ x d x x n = ∫ ln ⁡ x x n - 1 d x x = ∫ a d a e a n - 1 = ∫ a e a - n + 1 d a

Vamos separar em dois casos, quando n for igual a 1 e quando for diferente. Isso porque se ele for igual a 1 , não sobra x no denominador.

Então ficaria:

n = 1 → ∫ ln ⁡ x d x x n = ∫ a d a

Essa integral em a fica

∫ a d a = a 2 2 + C

Voltando para x

a 2 2 + C = ln ⁡ x 2 2 + C = ln 2 ⁡ x 2 + C

Vamos ter então:

n = 1 → ∫ ln ⁡ x d x x n = ln 2 ⁡ x 2 + C

Vamos ver agora quando n ≠ 1

Passo 3

∫ a e a - n + 1 d a

Para resolver essa integral, vamos usar integração por parte.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos ter, pelo LIATE:

u = a ⇒ d u = d a

d v = e a - n + 1 d a → v = e a - n + 1 - n + 1

Nossa integral fica:

∫ a e a - n + 1 d a = a e a - n + 1 - n + 1 - ∫ e a - n + 1 - n + 1 d a = a e a - n + 1 - n + 1 - e a - n + 1 - n + 1 2 + C

Voltando para x

a = ln ⁡ x

e a = x

Vamos ter:

x - n + 1 ln ⁡ x - n + 1 - x - n + 1 - n + 1 2 + C = x - n + 1 - n + 1 2 - n + 1 ln ⁡ x - 1 + C =

- n + 1 ln ⁡ x - 1 - n + 1 2 x n - 1

Passo 4

Vamos resolver naqueles dois casos:

Primeiro n = 1

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b ln ⁡ x d x x n = lim b → + ∞ ⁡ ln 2 ⁡ x 2 1 b = lim b → + ∞ ⁡ ln 2 ⁡ b 2 - ln 2 ⁡ 1 2 = lim b → + ∞ ⁡ ln 2 ⁡ b 2 = + ∞

Entao para n = 1 essa interal diverge.

Passo 5

Agora n ≠ 1

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b ln ⁡ x d x x n = lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 ln ⁡ x - 1 - n + 1 2 x n - 1 1 b =

lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 ln ⁡ b - 1 - n + 1 2 b n - 1 - - n + 1 ln ⁡ 1 - 1 - n + 1 2 1 n - 1 =

lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 ln ⁡ b - 1 - n + 1 2 b n - 1 + 1 - n + 1 2 =

lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 ln ⁡ b - 1 - n + 1 2 b n - 1 + 1 - n + 1 2 =

Para resolver aquele limite, vamos olahr ele separado, tirando as contantes e tudo, ficando:

lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 ln ⁡ b - 1 - n + 1 2 b n - 1

Vamos ter que o nosso numerador vai para + ∞ se - n + 1 > 0 e vai para - ∞ se - n + 1 < 0

Vamos analisar esses dois casos:

Passo 6

Se - n + 1 < 0 vamos ter:

- n + 1 < 0 → n - 1 > 0

Isso vai fazer aquel b n - 1 ir para infinito, então nosso limite fica:

lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 ln ⁡ b - 1 b n - 1 = - n + 1 ln ⁡ + ∞ - 1 + ∞ n - 1 = - ∞ ∞

Precisamos aplicar L’Hospital:

lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 ln ⁡ b - 1 b n - 1 = lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 ln ⁡ b - 1 ' b n - 1 ' = lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 b n - 1 b n - 1 =

lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 n - 1 b n = lim b → + ∞ ⁡ - 1 b n

Como n > 1 , vamos ter:

lim b → + ∞ ⁡ - 1 b n = - 1 ∞ = 0

Então nesse intervalo ela converge.

Passo 7

Se - n + 1 > 0 vamos ter:

- n + 1 > 0 → n - 1 < 0

Isso vai fazer aquel b n - 1 ir para infinito, então nosso limite fica:

lim b → + ∞ ⁡ - n + 1 ln ⁡ b - 1 b n - 1 = - n + 1 ln ⁡ + ∞ - 1 + ∞ n - 1 = - ∞ 0 = ∞

Então nesse intervalo ela diverge.

Resposta

n > 1

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