Enunciado

Se x^3 + y^3 - 3 x y^2 + 1 = 0 , ache d y no ponto (1 , 1) se d x = 0,1 .

Passo 1

O ideal é termos uma variável em função da outra quando formos derivar, mas a equação que a questão nos dá é complicada de fazer essa separação, e mesmo que fizessemos, seria dificil de tirar a derivada. A saída, então, é utilizar a técnica de derivação implicita para descobrir o valor de d y :

x^3 + y^3 - 3 x y^2 + 1 = 0

3 x^2 d x + 3 y^2 d y - 3 y^2 d x - 6 x y d y = 0

(3 x^2 - 3 y^2) d x + (3 y^2 - 6 x y) d y = 0

(3 y^2 - 6 x y) d y = - (3 x^2 - 3 y^2) d x

d y = - (3 x^2 - 3 y^2)/(3 y^2 - 6 x y) d x

Passo 2

Agora basta substituir os valores que a questão nos dá para descobrir d y .

d y = - (3 x^2 - 3 y^2)/(3 y^2 - 6 x y) d x

d y = - (3 (1)^2 - 3 (1)^2)/(3 (1)^2 - 6 (1) (1)) xx 0,1

d y = - (0)/(- 3) xx 0,1 = 0

Resposta

d y = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma página deve conter 24c m ² ² de impressão com margens de 1 1 2c m em cima e embaixo, enquanto devemos ter 1c m de cada lado. Quais as dimensões da menor página que satisfaz todos esses requsiitos?
Para a lata do exemplo 4, suponha que o custo do material da tampa e da base seja o dobro do custo dos lados. Ache a altura e o raio da base para que o custo do material seja mínimo.
Um poster de papelão cuja figura ocupa 32m ² ² do espaço deve ter embaixo e em cima uma margem de 2c m e uma margem de 4 3c m nos lados. Determine as dimensões do menor pedaço de papelão que possa ser
Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 3 - 3 x 2 + 5 x com inclinação mínima.
Sejam f ( x ) e g ( x ) as funções deriváveis traçadas aqui. O ponto c é onde a distância vertical entre as curvas é máxima. Há algo especial sobre as tangentes às duas curvas em c ? Justifique sua re