Enunciado

Um poster de papelão cuja figura ocupa 32   m ² do espaço deve ter embaixo e em cima uma margem de 2   c m   e uma margem de 4 3   c m nos lados. Determine as dimensões do menor pedaço de papelão que possa ser usado para fazer o poster.

Passo 1

Como temos que considerar as margens da folha de papelão, as dimensões da área impressa podem ser escritas da seguinte maneira: largura sendo x   c m e comprimento x   c m . Já as dimensões da folha, contando com as margens serão: x + 8 3 c m   de largura e y + 4   c m de comprimento.

A = x + 8 / 3 y + 4 A i m p r e s s ã o = x y = 32   c m 2 y = 32 x

Passo 2

Queremos as dimensões da menor página. Para isso, vamos derivar a expressão da área da acima em relação a x e igualar a zero.

A = x + 8 3 y + 4 A = x + 8 3 32 x + 4 A = 32 + 4 x + 256 3 x + 32 3 A = 4 x + 256 3 x + 128 3 d A d x = 0 = 4 - 256 3 x 2 256 3 x 2 = 4 x 2 = 256 12 x 2 = 64 3 x = 8 3 x = 8 3 3   c m

Passo 3

Agora que encontramos o valor de y vamos substituir lá naquela expressão oriunda do volume, que encontramos no passo 1.

y = 32 8 3 3 y = 32 * 3 8 3 y = 12 3 y = 12 3 3 y = 4 3   c m

Resposta

Portanto, as dimensões da menor página são:

l a r g u r a = 8 3 3 + 8 3   c m   e   c o m p r i m e n t o = 4 3 + 4   c m

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