Enunciado

Ache a solução completa de

cos ⁡ x d y d x + y 2 = y s e n x

Usando a solução de bernoulli

1 1 - n   d u d x + P x u = Q x

Sendo

u   = y 1 - n

Com x no intervalo [ - π 2 , π 2 ]

Passo 1

Primeiro vou reescrever a equação de bernoulli

d u d x + 1 - n P x u = 1 - n Q x

Vamos reorganizar nossa equação para ficar mais bonitinha

cos ⁡ x d y d x + y 2 = y s e n x

d y d x - s e n x c o s x y = - 1 c o s x y ²

Pronto já podemos fazer a substituição

u = y 1 - n

Sendo n = 2

u = y - 1  

Reordenando todos os fatores obtemos :

d u d x + 1 - n ( - s e n x c o s x )   u = 1 - n - 1 c o s x

d u d x + t g x   u =   1 c o s x

Num exercício anterior calculamos uma solução geral :

u = 1 - n μ x   .   ∫ μ x 1 - n Q x   d x    

Sendo μ x o fator integrante que nos ajuda (E MUITO!!!) a resolver essa função.

Definimos μ x = e ∫ 1 - n P x d x

Passo 2

Entao agora temos

( 1 - n ) P x = t g x

1 - n Q x =   1 c o s x

Já temos o suficiente para encontrarmos μ x

Lembra que   μ x = e ( 1 - n ) ∫ P x d x

Então

μ x = e ∫ t g   x     d x

μ x = e - ln ⁡ c o s x = 1 cos ⁡ x

Agora já podemos escrever u:

u = 1 - n μ x   .   ∫ μ x 1 - n Q x   d x    

u = cos ⁡ x   .   ∫ 1 c o s x   .     1 c o s x   d x  

u =   c o s x   tan ⁡ x + C

Lembre-se , estamos fazendo uma integral indefinida, logo precisamos acrescentar uma constante arbitraria C

u = s e n   x + C cos ⁡ x      

Show! Achamos a solução.

Agora podemos retornar de u para y

Sendo u = y - 1

y - 1 =   s e n   x + C cos ⁡ x  

y =   s e n   x + C cos ⁡ x   - 1  

Resposta

y = 1   s e n   x + C cos ⁡ x  

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