Enunciado

Equações sem a Variável Independente. Considere equações de segunda ordem da forma y ' ' = f y , y ' , na qual a variável independente t não aparece explicitamente. Se definirmos v = y ' , obteremos d v d t = f ( y , v ) . Como a expressão à direita do sinal de igualdade depende de y e v , em vez de t e v , essaequação contém variáveis demais. No entanto, se pensarmos em y como a variável independente, pela regra da cadeia temos d v d t = d v d y d y d t = v d v d y . Portanto, a equação diferencial original pode ser resolvida, obteremos v como função de y . Então poderemos obter uma relação entre y e t resolvendo d y d t = v y , que é uma equação separável. Novamente, o resultado final contém duas constantes arbitrárias. Em cada um dos problemas de 42 a 47, use esse método para resolver a equação diferencial dada.

y ⋅ y ' ' - y ' 3 = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Temos um problema no nosso enunciado: de acordo com a própria resolução do livro, para chegarmos nela, é necessário que tenha um termo y a mais. Assumindo isso, vamos começar! Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando y ' = v y e y ' ' = d v d y d y d t = v ' y ⋅ v y , temos que nossa equação fica como.

y ⋅ v ' ⋅ v - v 3 = 0

Podemos reescrever a equação como:

v ⋅ d v = v 3 y ⋅ d y

1 v 2 ⋅ d v = 1 y ⋅ d y

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:

- 1 v = ln ⁡ | y | + k 1

v = 1 k 2 - ln ⁡ y

Utilizando a transformação novamente, temos que:

d y d t = y ' = v y = 1 k 2 - ln ⁡ y

d y d t = 1 k 2 - ln ⁡ y

( k 2 - ln ⁡ y ) ⋅ d y = d t

k 2 ⋅ y - ( y ⋅ ln ⁡ y - y ) = t + k 2

Sendo essa nossa solução para a equação.

Resposta

k 2 ⋅ y - ( y ⋅ ln ⁡ y - y ) = t + k 2

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