Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial (12) d ² y d x ² = 2 x - 3 .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. Um tipo de equação diferencial é a de segunda ordem, da forma d ² y d x ² = f ( x ) , assim como a equação do nosso exercício! O primeiro passo é escrever essa derivada dupla de uma outra forma.

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

O segundo passo é tomar y ' = d y d x e aí reescever a equação diferencial. Vamos fazer isso aplicando no nosso exercício.

d ² y d x ² = d y ' d x = 2 x - 3 d y ' = 2 x - 3 1 2 d x ∫ d y ' = ∫ 2 x - 3 1 2 d x

Passo 2

Para resolvermos a integral vamos fazer uma substituição de variável na integral do lado direito da igualdade. Seja a = 2 x - 3   → d a = 2 d x → d a 2 = d x . Substituindo na integral temos

y ' = ∫ a 1 2 2 d a Resolvendo a integral teremos:

y ' = 1 2 a 3 2 3 2 + K 1 y ' = 1 3 ( 2 x - 3 ) 3 / 2 + K 1

No entanto, y ' = d y d x ! Fazendo essa substituição?

d y d x = 1 3 ( 2 x - 3 ) 3 / 2 + K 1 d y = 1 3 ( 2 x - 3 ) 3 / 2 + K 1 d x ∫ d y = ∫ 1 3 ( 2 x - 3 ) 3 / 2 + K 1 d x

Passo 3

Utilizando da mesma substituição de variável do passo anterior, temos:

y = ∫ 1 3 a 3 2 d a 2 + K 1 x y = 1 6 ∫ a 3 2 d a + K 1 x y = 1 6 a 5 2 5 2 + K 1 x + K 2 y = 2 30 ( 2 x - 3 ) 5 / 2 + K 1 x + K 2 y = 1 15 ( 2 x - 3 ) 5 / 2 + K 1 x + K 2

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

y = 1 15 ( 2 x - 3 ) 5 / 2 + K 1 x + K 2

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