Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (18) d s d t = cos ⁡ t 2 ; s = 3   q u a n d o   t = π 3 .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d x = f x f y , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

f ( y ) d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d s d t = cos ⁡ t 2 d s = cos ⁡ t 2 d t ∫ d s = ∫ cos ⁡ t 2 d t

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d s = ∫ cos ⁡ t 2 d t s ( t ) = 2 s e n t 2 + K

Passo 3

Aplicando as condições inicias na equação encontrada temos:

s π 3 = 3 s π 3 = 2 s e n π 3 2 + K = 3 2 s e n π 6 + K = 3 2 * 1 2 + K = 3 K = 3 - 1 K = 2

Portanto,

s ( t ) = 2 s e n t 2 + 2

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

s ( t ) = 2 s e n t 2 + 2

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