Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial (10) d u d v = c o s 2 v s e n 3 u .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d t = f x f ( y ) , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

f ( y ) d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d u d v = c o s 2 v s e n 3 u s e n ( 3 u ) d u = c o s ⁡ ( 2 v ) d v ∫ s e n ( 3 u ) d u = ∫ c o s ⁡ ( 2 v ) d v

Passo 2

Resolvendo a integral temos::

∫ s e n ( 3 u ) d u = ∫ c o s ⁡ ( 2 v ) d v - cos ⁡ 3 u 3 + K 1 = s e n 2 v 2 + K 2 - cos ⁡ 3 u 3 = s e n 2 v 2 + K

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

- cos ⁡ 3 u 3 = s e n 2 v 2 + K

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