Enunciado

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

14. d P d t = P t             P 1 = 2

Passo 1

Queremos resolver a equação d P d t = P t , se conseguirmos deixar de um lado termos com somente P e do outro termos com somente t podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar P , dessa forma:

d P d t = P t            

d P d t = P t            

d P P = t   d t

P - 1 2   d P = t 1 2 d t

Passo 2

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de P e do lado direito em função de t , assim:

∫ P - 1 2   d P = ∫ t 1 2 d t  

2 P 1 2   = 2 3 t 3 2 + D  

Nunca esqueça de que em uma integral indefinida sempre temos uma constante D .

P 1 2   = 1 3 t 3 2 + C                 C = D 2  

P   = 1 3 t 3 2 + C 2

Passo 3

Agora precisamos aplicar o problema de valor inicial para chegar a nossa resposta final.

P 1 = 2

Isso quer dizer que quando temos t = 1 , nosso P = 2 .Vamos substituir esses números na equação que encontramos:

2   = 1 3 1 3 2 + C 2

2 = 1 3 + C 2

2   = 1 3 + C

C = 2 - 1 3

Portanto, a solução que estávamos procurando é:

P   = 1 3 t 3 2 + 2 - 1 3 2

Resposta

14.   P   = 1 3 t 3 2 + 2 - 1 3 2

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