Enunciado

Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área são os termos da soma de Riemann.

f x = 1 x + 2 ,   - 1 ≤ x ≤ 3 ;

Para Δ :

x 0 = - 1 ,   x 1 = - 0,25 , x 2 = 0 ,   x 3 = 0,5 , x 4 = 1,25 , x 5 = ( 2 ) ,   x 6 = ( 2,25 ) , x 7 = ( 2,75 ) ,   x 8 = ( 3 ) ;

ξ 1 = - 0,75 , ξ 2 = 0 , ξ 3 = 0,25 , ξ 4 = 1 , ξ 5 = 1,5 , ξ 6 = 2 , ξ 7 = 2,5 , ξ 8 = 3

Passo 1

Devemos então montar a soma de Riemann com esses valores e esboçar um gráfico disso.

Lembrando que Δ x é a largura de cada retângulo e f ( ξ ) seria a altura de cada um deles, sendo

Δ i x = x i - x i - 1

A figura mostra um esboço do gráfico de f em - 1,3 e os oito retângulos cujas áreas são os termos da soma de Riemann.

Passo 2

Agora devemos montar a soma de Riemann

∑ i = 1 8 f ξ i Δ i x = f ξ 1 Δ 1 x + f ξ 2 Δ 2 x + f ξ 3 Δ 3 x + f ξ 4 Δ 4 x + f ξ 5 Δ 5 x + f ξ 6 Δ 6 x + f ξ 7 Δ 7 x + f ξ 8 Δ 8 x

= f - 0,75 - 0,25 - ( - 1 ) + f 0 0 - ( - 025 ) + f 0,25 0,5 - 0 + f 1 1,25 - 0,5 + f 1,5 2 - 1,25 + f 2 2,25 - 2 + f 2,5 2,75 - 2,25 + f 3 3 - 2,75

= 1 - 0,75 + 2 0,75 + 1 0 + 2 0,25 + 1 25 + 2 0,5 + 1 1 + 2 0,75 + 1 1,5 + 2 0,75 + 1 2 + 2 0,25 + 1 2,5 + 2 0,5 + 1 3 + 2 ( 0,25 )

Resposta

Dessa maneira, o valor da soma de Riemann é:

∑ i = 1 4 f ξ i Δ i x = 1,6351

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