Enunciado

Nos exercícios de 1 a 14, ache o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

6 )   lim y → - 1 ⁡ y ³ - 2 y ² + 3 y - 4

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando y está se aproximando de -1, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f z = y ³ - 2 y ² + 3 y - 4

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Podemos resolver o limite usando o Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

Sendo assim:

lim y → - 1 ⁡ y ³ - 2 y ² + 3 y - 4 = lim y → - 1 ⁡ y ³ - l i m y → - 1 2 y ² + l i m y → - 1 3 y - 4

Para resolver l i m y → - 1 y ³ e l i m y → - 1 2 y ²   podemos usar o Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n  

Então:

l i m y → - 1 y = - 1    

  l i m y → - 1 y ³   = - 1

De acordo com Teorema de Limite 6:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x . g ( x ) = L . M

Ou seja:

l i m y → - 1 2 y ² = l i m y → - 1 2 . l i m y → - 1 y ²    

De acordo com o Teorema 2:

l i m y → - 1 2 = 2

l i m y → - 1 2 y ² = l i m y → - 1 2 . l i m y → - 1 y ² = 2 . - 1 2 = 2

l i m y → - 1 2 y ² = 2

Para o último limite podemos usar o Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

Então:

l i m y → - 1 3 y - 4 = 3 . - 1 - 4 = - 7

l i m y → - 1 3 y - 4 = - 7

Concluindo:

lim y → - 1 ⁡ y ³ - l i m y → - 1 2 y ² + l i m y → - 1 3 y - 4 = - 1 - 2 - 7 = - 10

Resposta

lim y → - 1 ⁡ y ³ - 2 y ² + 3 y - 4 = - 1 0

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