Enunciado

44. Ache a, b e c, tais que a função definida por

f x = a x 2 + b x + c

tenha um valor máximo relativo de 7 em 1, e que o gráfico de y = f ( x ) passe pelo ponto (2,-2)

Passo 1

Podemos ver com o teorema 4.4.4 do livro algumas ideias importantes para os extremos relativos, a que será fundamental para resolução do exercício é que no ponto dos extremos relativos f ' x = 0 .

E por quê? Bom, porque a nossa função tem inclinação nula nesse determinado ponto e como já sabemos bem que a derivada é a inclinação da reta, se não tem inclinação a derivada é 0

Com esse lembrete já estamos prontos para começar nossa resolução.

Passo 2

Primeiramente vamos pegar nossa função e derivá-la, pois iremos usar a função e a derivada da função a partir de agora.

Nossa função é:     f x = a x 2 + b x + c

E sua derivada é:   f ' x = 2 a x + b

O ponto de máximo relativo foi dado enunciado então vamos pegá-lo e encaixá-lo apropriadamente na nossa função.

Passo 3

Máximo relativo no ponto ( 1,7 )

Neste ponto f x = y = 7 e x = 1 então nossa função fica:

7 = a + b + c

E a derivada da função fica:

0 = 2 a + b

Igualado a zero pois como explicamos no Passo 1, não há inclinação nesse ponto.

Passo 4

Outra informação importante que o enunciado nos deu é que o gráfico dessa função passa no ponto ( 2 , - 2 ) então podemos substituir esses pontos também na nossa função e conseguir uma outra equação:

- 2 = 4 a + 2 b + c

Passo 5

Temos 3 equações e 3 incógnitas, então vamos resolver um sistema e dele tirar os nossos resultados.

Vamos mexer nesse sistema de forma em colocar tudo em função de a.

2 a + b = 0 ⇒ b = - 2 a   s u b s t i t u i n d o   b   n a   e q u a ç ã o   a b a i x o a + b + c = 7 ⇒ c =   7 - a - b   ⇒ c =   7 + a 4 a + 2 b + c = - 2   s u b s t i t u i n d o   o s   d o i s   r e s u l t a d o s   a c i m a ⇒ a = - 9

Passo 6

Descobrimos quem é a, e como deixamos tudo em função de a é só substituir nas outras equações.

b = - 2 a =   - 2 ⋅ - 9 = 1 8

c =   7 + a = 7 - 9 =   - 2

Pronto, conseguimos tudo o que o enunciado pediu!

Resposta

a =   - 9

b = 18

c = - 2

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