Enunciado

Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo e (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

f x = x 4 3 - x 1 3

Passo 1

Para encontrar onde f é crescente e decrescente temos que analisar a primeira derivada de f , sabemos que f é crescente quando f ' é positiva, e é decrescente quando f ' é negativa:

f ' x = 4 3 x 4 3 - 1 - 1 3 x 1 3 - 1 = 4 3 x 4 - 3 3 - 1 3 x 1 - 3 3 = 4 3 x 1 3 - 1 3 x - 2 3 = 4 x 1 3 - x - 2 3 3 = x - 2 3 3 4 x 1 - 1 =

= x - 2 3 3 4 x - 1 = 1 3 x 2 3 4 x - 1

Vamos ver onde ela é igual a zero:

4 x - 1 = 0 → 4 x = 1 → x = 0,25

Temos que em x = 0 é um ponto onde não há derivada, então temos que analisar o sinal em torno dele também.

Vamos então analisar o sinal agora:

  1. Temos então que f é crescente em 0,25 ; + ∞ .
  2. E f é decrescente em - ∞ ; 0,25 .
  3. Passo 2

    Já em relação a concavidade vamos analisar a segunda derivada, e aqui sabemos que f é côncava para cima quando f ' é positiva, e é côncava para baixo quando f ' é negativa:

    f ' ' x = 4 3 ⋅ 1 3 ⋅ x 1 3 - 1 - 1 3 ⋅ - 2 3 ⋅ x - 2 3 - 1 = 4 9 x 1 - 3 3 + 2 9 x - 2 - 3 3 = 4 9 x - 2 3 + 2 9 x - 5 3 = 4 x - 2 3 + 2 x - 5 3 9 =

    = 2 x - 5 3 9 2 x + 1 = 2 9 x 5 3 2 x + 1

    Vamos ver onde ela é igual a zero:

    2 x + 1 = 0 → 2 x = - 1 → x = - 0,5

    Temos que em x = 0 é um ponto onde não há derivada, então temos que analisar o sinal em torno dele também.

    Vamos analisar o sinal:

  4. Temos então que f é côncava para cima em - ∞ ; - 0,5 e 0 , ∞ .
  5. E f é côncava para baixo em - 0,5 ; 0 .
  6. Passo 3

  7. Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, assim temos um ponto de inflexão em x = - 0,5 .

Resposta

  1. 0,25 ; + ∞
  2. - ∞ ; 0,25
  3. - ∞ ; - 0,5 e 0 , ∞
  4. - 0,5 ; 0
  5. x = - 0,5
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Em cada parte, use o gráfico de y = f ( x ) na figura abaixo para encontrar a informação requisitada.(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente.(b) Encontre os intervalos nos quais f é decresc
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