Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

32. f x = 25 - x + 7 2   s e - 12 ≤ x ≤ - 3 12 - x 2   s e - 3 < x

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Para - 12 ≤ x ≤ - 3 temos:

f x = 25 - x + 7 2

f ' x = 1 2 25 - x + 7 2 - 1 2 ⋅ [ - 2 ( x + 7 ) ]

= - 25 - x + 7 2 - 1 2 ⋅ ( x + 7 )

Para x > - 3 temos:

f x = 12 - x 2  

f ' x = - 2 x

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

Para - 12 ≤ x < - 3 :

- 25 - x + 7 2 - 1 2 ⋅ x + 7 = 0

A única possibilidade dessa expressão ser 0 é se :

x + 7 = 0

⇒ x = - 7

Para x > - 3 :

- 2 x = 0

⇒ x = 0

Passo 4

Então achamos os valores de x que é ponto crítico de f , que é x = - 7 e x = 0 . Agora vamos ver o valor de f para tais pontos, jogando os x que encontramos na nossa função.

Para - 12 ≤ x ≤ - 3 :

f x = 25 - x + 7 2

f - 7 = 25 - - 7 + 7 2

= 25

= 5

Para x > - 3 :

f x = 12 - x 2

f 0 = 12 - 0 2

= 12

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = - 25 - x + 7 2 - 1 2 ⋅ x + 7 s e   - 12 ≤ x < - 3 - 2 x   s e   x > - 3

Vemos que para:

- 12 ≤ x ≤ - 7 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

- 7 ≤ x ≤ - 3 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

- 3 < x < 0 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

0 ≤ x → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor um qualquer maior que 0 .

Olhando essas avaliações você pode ver que - 3 é um extremo relativo de f x , pois como f ' ( - 3 ) apresenta uma descontinuidade ele é um número crítico de f .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é crescente antes de - 7 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 5 é ponto máximo, como a função é decrescente antes de - 3 e crescente depois do mesmo, logo f x = 3 é ponto mínimo, como a função é crescente antes de 0 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 12 é ponto máximo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f - 7 = 5 e f - 3 = 3 e f 0 = 12 são extremos relativos.
  2. Em x = - 7 e em x = - 3 e em x = 0 ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em [ - 12 , - 7 ] , ( - 3 ,   0 )
  4. f ( x ) é decrescente em ( - 7 , - 3 ) , [ 0 , + ∞ )
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Suponha que a derivada da função seja f ' x = x - 1 2 x - 3 5 x - 6 4 . Em qual intervalo f está crescendo?
Seja f x = x + e x e seja g a inversa de f . Mostre que g é derivável e que g ' x = 1 1 + e g x .(Sugestão: Veja Exercício 13 - 8.1 )
Verifique que. d d x x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 = x 2 arcsen ⁡ x
Verifique que. d d x - 1 2 arcsen ⁡ 2 - x x 2 = 1 x x 2 + 4 x - 4
Verifique que. d d x x + 1 arctg ⁡ x - x = arctg ⁡ x