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Ache todos os valores de x para os quais o número é real

x 2 - 5 x + 4

Passo 1

Para que o resultado de uma raiz quadrada seja real precisamos que o que tem dentro dela seja maior ou igual a 0 , ou seja:

x 2 - 5 x + 4 ≥ 0

Agora é só resolver a inequação! Se a gente fatorar essa equação, podemos fazer a análise do sinal dela a partir de uma tabelinha de sinal e ficar só com os valores positivos do produto dos fatores.

Passo 2

Podemos fatorar essa equação do 2º grau em termos de suas raízes x 1 e x 2 como:

a ( x - x 1 ) ( x - x 2 )

Por Bhaskara, temos:

x 1,2 = - - 5 ± - 5 2 - 4 ∙ 1 ∙ 4 2 ∙ 1

Ficamos com as duas raízes:

x 1 = 4

x 2 = 1

Então podemos escrever nossa inequação como:

x - 4 x - 1 ≥ 0

Agora vamos fazer a análise do sinal com a ajuda da nossa tabelinha amiga. Ela nos mostrará o sinal de cada binômio e o sinal resultante do produto entre eles. Vamos analisar em todos os números reais, mas vamos dividir entre alguns intervalos e valores importantes. Esses intervalos serão segmentados em cada raiz.

Passo 3

Montando a tabela:

Vemos que nossa condição ( ≥ 0 ) é satisfeita nos dois primeiros intervalos e nos dois últimos: x ≤ 1     x ≥ 4 . Nosso conjunto solução será a união de todos esses intervalos!

Resposta

- ∞ ,   1 ∪ [ 4 , + ∞ )

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